单选题(每题 2 分,共 30 分)

1. 以下哪种情况使用链表比数组更合适? {{ select(1) }}

• 数据量固定且读多写少
• 需要频繁在中间或开头插入、删除元素
• 需要高效随机访问元素
• 存储空间必须连续

2. 函数 removeElements 删除单链表中所有结点值等于 val 的结点,并返回新的头结点,其中链表头结点为 head,则横线处填写( )。

struct Node {
    int val;
    Node* next;
    Node() : val(0), next(nullptr) {}
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
    Node(int x, Node *next) : val(x), next(next) {}
};

Node* removeElements(Node* head, int val) {
    Node dummy(0, head);        // 哑结点,统一处理头结点
    Node* cur = &dummy;
    while (cur->next) {
        if (cur->next->val == val) {
            -------------------------- // 在此填入代码
        }
        else {
            cur = cur->next;
        }
    }
    return dummy.next;
}

{{ select(2) }}

• 选项如下:

  Node* del = cur;
    cur = del->next;
    delete del;
  

• 选项如下:

  Node* del = cur->next;
    cur->next = del;
    delete del;
  

• 选项如下:

  Node* del = cur->next;
    cur->next = del->next;
    delete del;
  

• 选项如下:

  Node* del = cur->next;
    delete del;
    cur->next = del->next;
  

3. 函数 hasCycle 采用 Floyd 快慢指针法判断一个单链表中是否存在环,链表的头节点为 head,即用两个指针在链表上前进:slow 每次走 $1$ 步,fast 每次走 $2$ 步,若存在环,fast 终会追上 slow(相遇);若无环, fast 会先到达 nullptr,则横线上应填写( )。

struct Node {
    int val;
    Node *next;
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};

bool hasCycle(Node *head) {
    if (!head || !head->next)
        return false;
    Node* slow = head;
    Node* fast = head->next;
    while (fast && fast->next) {
        if (slow == fast) return true;
        // 在此填入代码
    }
    return false;
}

{{ select(3) }}

• 选项如下:

  1 slow = slow->next;
    2 fast = fast->next->next;
  

• 选项如下:

  1 slow = fast->next;
    2 fast = slow->next->next;
  

• 选项如下:

  1 slow = slow->next;
    2 fast = slow->next->next;
  

• 选项如下:

  1 slow = fast->next;
    2 fast = fast->next->next;
  

4. 函数 isPerfectNumber 判断一个正整数是否为完全数(该数是否即等于它的真因子之和),则横线上应填写( )。一个正整数 $n$ 的真因子包括所有小于 $n$ 的正因子,如 $28$ 的真因子为 $1$, $2$, $4$, $7$, $14$。

bool isPerfectNumber(int n) {
    if(n <= 1) return false;
    int sum = 1;
    for(int i = 2; ___; i++) {
        if(n % i == 0) {
            sum += i;
            if(i != n/i) sum += n/i;
        }
    }
    return sum == n;
}

{{ select(4) }}

• i <= n
• i*i <= n
• i <= n/2
• i < n

5. 以下代码计算两个正整数的最大公约数(GCD),横线上应填写( )。

int gcd0(int a, int b) {
    if (a < b) {
        swap(a, b);
    }
    while(b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return ___;
}

{{ select(5) }}

• b
• a
• temp
• a * b

6. 函数 sieve 实现埃拉托斯特尼筛法(埃氏筛),横线处应填入( )。

vector<bool> sieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n+1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(is_prime[i]) {
            for(int j = ___; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return is_prime;
}

{{ select(6) }}

• i
• i+1
• i*2
• i*i

7. 函数 linearSieve 实现线性筛法(欧拉筛),横线处应填入( )。

vector<int> linearSieve(int n) {
    vector<bool> is_prime(n+1, true);
    vector<int> primes;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(is_prime[i]) primes.push_back(i);
        for(int p : primes) {
            if(p * i > n) break;
            is_prime[p * i] = false;
            if(___) break;
        }
    }
    return primes;
}

{{ select(7) }}

• i % p == 0
• p % i == 0
• i == p
• i * p == n

8. 关于埃氏筛和线性筛的比较,下列说法错误的是( )。 {{ select(8) }}

• 埃氏筛可能会对同一个合数进行多次标记
• 线性筛的理论时间复杂度更优,所以线性筛的速度往往优于埃氏筛
• 线性筛保证每个合数只被其最小质因子筛到一次
• 对于常见范围( $n\leq10^{7}$),埃氏筛因实现简单,常数较小,其速度往往优于线性筛

9. 关于整数的素数分解,以下说法正确的是( )。 {{ select(9) }}

• 每个整数都能表示为任意素数的乘积
• 每个大于 $1$ 的整数能唯一分解为素数幂乘积(忽略顺序)
• 合数不能分解为素数乘积
• 素数只有两个因子:$1$ 和自身

10. 给定一个 $n \times n$ 的矩阵 matrix,矩阵的每一行和每一列都按升序排列。函数 countLE 返回矩阵中第 $k$ 小的元素,则两处横线上应分别填写( )。

// 统计矩阵中 <= x 的元素个数:从左下角开始
int countLE(const vector<vector<int>>& matrix, int x) {
    int n = (int)matrix.size();
    int i = n - 1, j = 0, cnt = 0;
    while (i >= 0 && j < n) {
        if (matrix[i][j] <= x) {
            cnt += i + 1;
            ++j;
        }
        else {
            --i;
        }
    }
    return cnt;
}

int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
    int n = (int)matrix.size();
    int lo = matrix[0][0];
    int hi = matrix[n - 1][n - 1];
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        if (countLE(matrix, mid) >= k) {
            ___    // 在此处填入代码
        } else {
            ___    // 在此处填入代码
        }
    }
    return lo;
}

{{ select(10) }}

• 选项如下:

  1 hi = mid - 1;
    2 lo = mid + 1;
  

• 选项如下:

  1 hi = mid;
    2 lo = mid;
  

• 选项如下:

  1 hi = mid;
    2 lo = mid + 1;
  

• 选项如下:

  1 hi = mid + 1;
    2 lo = mid;
  

11. 下述 C++ 代码实现了快速排序算法,下面说法错误的是( )。

int partition(vector<int>& arr, int low, int high) {
    int i = low, j = high;
    int pivot = arr[low];                // 以首元素为基准
    while (i < j) {
        while (i < j && arr[j] >= pivot) j--;    //从右往左查找
        while (i < j && arr[i] <= pivot) i++;    //从左往右查找
        if (i < j) swap(arr[i], arr[j]);
    }
    swap(arr[i], arr[low]);
    return i;
}

void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low >= high) return;
    int p = partition(arr, low, high);
    quickSort(arr, low, p - 1);
    quickSort(arr, p + 1, high);
}

{{ select(11) }}

• 快速排序之所以叫“快速”,是因为它在平均情况下运行速度较快,常数小、就地排序,实践中通常比归并排序更高效。
• 在平均情况下,划分的递归层数为 $\log n$ ,每层中的总循环数为 $n$,总时间为 $O(n\log n)$ 。
• 在最差情况下,每轮划分操作都将长度为 $0$ 和 $n-1$ 的两个子数组,此时递归层数达到 $n$,每层中的循环数为 $n$,总时间为 $O \left(n^{2}\right)$。
• 划分函数 partition 中“从右往左查找”与“从左往右查找”的顺序可以交换。

12. 下述 C++ 代码实现了归并排序算法,则横线上应填写( )。

// 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
vector<int> tmp(right - left + 1);
int i = left, j = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid && j <= right) {
    if (nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
    else tmp[k++] = nums[j++];
}
while (i <= mid) {
    tmp[k++] = nums[i++];
}
while (___) {
    // 在此处填入代码 tmp[k++] = nums[j++];
}
for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
    nums[left + k] = tmp[k];
}
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    if (left >= right) return;
    int mid = (left + right) / 2;
    mergeSort(nums, left, mid);
    mergeSort(nums, mid + 1, right);
    merge(nums, left, mid, right);
}

{{ select(12) }}

• i < mid
• j < right
• i <= mid
• j <= right

13. 假设你是一家电影院的排片经理,只有一个放映厅。你有一个电影列表 movies,其中 movies[i] = [start_i, end_i] 表示第 $i$ 部电影的开始和结束时间。请你找出最多能安排多少部不重叠的电影,则横线上应分别填写的代码为( )。

int maxMovies(vector<vector<int>>& movies) {
    if (movies.empty()) return 0;
    sort(movies.begin(), movies.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
        return ___; // 在此处填入代码
    });
    int count = 1;
    int lastEnd = movies[0][1];
    for (int i = 1; i < movies.size(); i++) {
        if (movies[i][0] >= lastEnd) {
            count++;
            ___ = movies[i][1]; // 在此处填入代码
        }
    }
    return count;
}

{{ select(13) }}

• a[0] < b[0] 和 lastEnd
• a[1] < b[1] 和 lastEnd
• a[0] < b[0] 和 movies[i][0]
• a[1] < b[1] 和 movies[i][0]

14. 给定一个整数数组 nums,下面代码找到一个具有最大和的连续子数组,并返回该最大和。则下面说法错误的是( )。

int crossSum(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {
    int leftSum = INT_MIN, rightSum = INT_MIN;
    int sum = 0;
    for (int i = mid; i >= left; i--) {
        sum += nums[i];
        leftSum = max(leftSum, sum);
    }
    sum = 0;
    for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
        sum += nums[i];
        rightSum = max(rightSum, sum);
    }
    return leftSum + rightSum;
}

int helper(vector<int>& nums, int left, int right) {
    if (left == right)
        return nums[left];
    int mid = left + (right - left) / 2;
    int leftMax = helper(nums, left, mid);
    int rightMax = helper(nums, mid + 1, right);
    int crossMax = crossSum(nums, left, mid, right);
    return max({leftMax, rightMax, crossMax});
}

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    return helper(nums, 0, nums.size() - 1);
}

{{ select(14) }}

• 上述代码采用分治算法实现
• 上述代码采用贪心算法
• 上述代码时间复杂度为 $O(n \log n)$
• 上述代码采用递归方式实现

15. 给定一个由非负整数组成的数组 digits,表示一个非负整数的各位数字,其中最高位在数组首位,且 digits 不含前导 $0$(除非是 $0$ 本身)。下面代码对该整数执行 +1 操作,并返回结果数组,则横线上应填写( )。

vector<int> plusOne(vector<int>& digits) {
    for (int i = (int)digits.size() - 1; i >= 0; --i) {
        if (digits[i] < 9) {
            digits[i] += 1;
            return digits;
        }
        // 在此处填入代码
    }
    digits.insert(digits.begin(), 1);
    return digits;
}

{{ select(15) }}

• 1 digits[i] = 0;
• 1 digits[i] = 9;
• 1 digits[i] = 1;
• 1 digits[i] = 10;

判断题(每题 2 分,共 20 分)

16. 基于下面定义的函数,通过判断 isDivisibleBy9(n) == isDigitSumDivisibleBy9(n) 可验算:如果一个数能被 $9$ 整除,则它的各位数字之和能被 $9$ 整除。

bool isDivisibleBy9(int n) {
    return n % 9 == 0;
}

bool isDigitSumDivisibleBy9(int n) {
    int sum = 0;
    string numStr = to_string(n);
    for (char c : numStr) {
        sum += (c - '0');
    }
    return sum % 9 == 0;
}

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 假设函数 gcd() 能正确求两个正整数的最大公约数,则下面的 findMusicalPattern(4,6) 函数返回 $2$。

void findMusicalPattern(int rhythm1, int rhythm2) {
    int commonDivisor = gcd(rhythm1, rhythm2);
    int patternLength = (rhythm1 * rhythm2) / commonDivisor;
    return patternLength;
}

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 下面递归实现的斐波那契数列的时间复杂度为 $O(2^n)$。

long long fib_memo(int n, long long memo[]) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n];
    memo[n] = fib_memo(n - 1, memo) + fib_memo(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

int main() {
    int n = 40;
    long long memo[100];
    fill_n(memo, 100, -1);
    long long result2 = fib_memo(n, memo);
    return 0;
}

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

19. 链表通过更改指针实现高效的结点插入与删除,但结点访问效率低、占用内存较多,且对缓存利用不友好。 {{ select(19) }}

• 正确
• 错误

20. 二分查找依赖数据的有序性,通过循环逐步缩减一半搜索区间来进行查找,且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。 {{ select(20) }}

• 正确
• 错误

21. 线性筛关键是“每个合数只会被最小质因子筛到一次”,因此为 $O(n)$。 {{ select(21) }}

• 正确
• 错误

22. 快速排序和归并排序都是稳定的排序算法。 {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. 下面代码采用分治算法求解标准 $3$ 柱汉诺塔问题,时间复杂度为 $O(n\log n)$。

void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    tar.push_back(pan);
}

void dfs(int n, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
    if (n == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    dfs(n - 1, src, tar, buf);
    move(src, tar);
    dfs(n - 1, buf, src, tar);
}

void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
    int n = A.size();
    dfs(n, A, B, C);
}

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24. 所有递归算法都可以转换为迭代算法。 {{ select(24) }}

• 正确
• 错误

25. 贪心算法总能得到全局最优解。 {{ select(25) }}

• 正确
• 错误