单选题(每题 2 分,共 30 分)

1. 下面关于链表和数组的描述,错误的是( )。 {{ select(1) }}

• 当数据数量不确定时,为了应对各种可能的情况,需要申请一个较大的数组,可能浪费空间;此时用链表比较合适,大小可动态调整。
• 在链表中访问节点的效率较低,时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表插入和删除元素效率较低,时间复杂度为 $O(n)$。
• 链表的节点在内存中是分散存储的,通过指针连在一起。

2. 在循环单链表中,节点的 next 指针指向下一个节点,最后一个节点的 next 指针指向( )。 {{ select(2) }}

• 当前节点
• nullptr
• 第一个节点
• 上一个节点

3. 为了方便链表的增删操作,一些算法生成一个虚拟头节点,方便统一删除头节点和其他节点。下面代码实现了删除链表中值为 val 的节点,横线上应填的最佳代码是( )。

struct LinkedNode {
    int val;
    LinkedNode* next;
    LinkedNode(int val):val(val), next(nullptr){}
};

void removeElements(LinkedNode* head, int val) {
    if (head == nullptr) {
        return;
    }
    LinkedNode* cur;
    LinkedNode* dummyHead = new LinkedNode(0); //虚拟头节点
    ___ // 在此处填入代码
    while(cur ->next ! = nullptr) {
        if(cur->next->val == val) {
            LinkedNode* tmp = cur->next;
            cur->next = cur->next->next;
            delete tmp;
            tmp = nullptr;
        }
        else {
            cur = cur->next;
        }
    }
    head = dummyHead->next;
    delete dummyHead;
    dummyHead = nullptr;
}

{{ select(3) }}

• 选项如下：

  dummyHead->next = head;
  cur = dummyHead;
  

• 选项如下：

  dummyHead->next = head->next;
  cur = dummyHead;
  

• 选项如下：

  dummyHead->next = head;
  cur = dummyHead->next;
  

• 选项如下：

  dummyHead->next = head->next;
  cur = dummyHead->next;
  

4. 对下面两个函数,说法错误的是( )。

int fibA(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int f1 = 0, f2 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int temp = f2;
        f2 = f1 + f2;
        f1 = temp;
    }
    return f2;
}

int fibB(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fibB(n - 1) + fibB(n - 2);
}

{{ select(4) }}

• 两个函数的实现的功能相同。
• fibA 采用递推方式。
• fibB 采用的是递归方式。
• fibA 时间复杂度为 $O(n)$ ,fibB 的时间复杂度为 $O(n^{2})$ 。

5. 两块长方形土地的长宽分别为 $24$ 和 $36$ 米,要将它们分成正方形的小块,使得正方形的尺寸尽可能大。小杨采用如下的辗转相除函数 gcd(24, 36) 来求正方形分块的边长,则函数 gcd 调用顺序为( )。

int gcd(int a, int b) {
    int big = a > b ? a : b;
    int small = a < b ? a : b;
    if (big % small == 0) {
        return small;
    }
    return gcd(small, big % small);
}

{{ select(5) }}

• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)、gcd(12, 0)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)、gcd(0, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(24, 12)
• gcd(24, 36)、gcd(12, 24)

6. 唯一分解定理表明,每个大于 $1$ 的自然数可以唯一地写成若干个质数的乘积。下面函数将自然数 n 的所有质因数找出来,横线上能填写的最佳代码是( )。

#include <vector>
vector<int> get_prime_factors(int n) {
    vector<int> factors;
    if (n <= 1) {
        cout << "输入的数必须是大于1的正整数" << endl;
        return;
    }
    while (n % 2 == 0) {
        factors.push_back(2);
        n /= 2;
    }
    ___ { // 在此处填入代码
        while (n % i == 0) {
            factors.push_back(i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n > 2) {
        factors.push_back(n);
    }
    return factors;
}

{{ select(6) }}

• for (int i = 3; i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i * i <= n; i ++)
• for (int i = 3; i <= n; i += 2)
• for (int i = 3; i * i <= n; i += 2)

7. 下述代码实现素数表的埃拉托色尼(埃氏)筛法,筛选出所有小于等于 $n$ 的素数。

vector<int> sieve_Eratosthenes(int n) {
    vector<bool> is_prime(n +1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes.push_back(i);
        }
    }
    return primes;
}

下面说法,正确的是( )。 {{ select(7) }}

• 代码的时间复杂度是 $O(n\sqrt{n})$。
• 在标记非素数时,代码从 $i^2$ 开始,可以减少重复标记。
• 代码会输出所有小于等于 $n$ 的奇数。
• 调用函数 sieve_Eratosthenes(10),函数返回值的数组中包含的元素有:$2$, $3$, $5$, $7$, $9$。

8. 下述代码实现素数表的线性筛法,筛选出所有小于等于 $n$ 的素数。下面说法正确的是( )。

vector<int> sieve_linear(int n) {
    vector<bool> is_prime(n +1, true);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n/2; i++) {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);
        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; j++) {
            is_prime[ i * primes[j] ] = 0;
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
    for (int i = n/2 +1; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i])
            primes.push_back(i);
    }
    return primes;
}

{{ select(8) }}

• 线性筛的时间复杂度是 $O(n)$。
• 每个合数会被其所有的质因子标记一次。
• 线性筛和埃拉托色尼筛的实现思路完全相同。
• 以上都不对

9. 考虑以下 C++ 代码实现的快速排序算法:

int partition(vector<int>& arr, int left, int right) {
    int pivot = arr[right]; // 基准值
    int i = left - 1;
    for (int j = left; j < right; j++) {
        if (arr[j] < pivot) {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[right]);
    return i + 1;
}

// 快速排序
void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int pi = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, right);
    }
}

以下关于快速排序的说法,正确的是( )。 {{ select(9) }}

• 快速排序通过递归对子问题进行求解。
• 快速排序的最坏时间复杂度是 $O(n\log n)$。
• 快速排序是一个稳定的排序算法。
• 在最优情况下,快速排序的时间复杂度是 $O(n)$。

10. 下面关于归并排序,描述正确的是( )。 {{ select(10) }}

• 归并排序是一个不稳定的排序算法。
• 归并排序的时间复杂度在最优、最差和平均情况下都是 $O(n\log n)$。
• 归并排序需要额外的 $O(1)$ 空间。
• 对于输入数组 {12,11,13,5,6,7},代码输出结果为:765131211。

11. 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums,其中所有元素都是唯一的。下面的函数返回数组中元素 target 的索引。

int binarySearch(vector<int> &nums, int target, int left, int right) {
    if (left > right) {
        return -1;
    }
    int middle = left + ((right - left) / 2);
    if (nums[middle] == target) {
        return middle;
    }
    else if (nums[middle] < target) {
        return binarySearch(nums, target, middle + 1, right);
    }
    else
        return binarySearch(nums, target, left, middle - 1);
}

int Find(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    return binarySearch(nums, target, 0, n - 1);
}

关于上述函数,描述不正确的是( )。 {{ select(11) }}

• 函数采用二分查找,每次计算搜索当前搜索区间的中点,然后根据中点的元素值排除一半搜索区间。
• 函数采用递归求解,每次问题的规模减小一半。
• 递归的终止条件是中间元素的值等于 target,若数组中不包含该元素,递归不会终止。
• 算法的复杂度为 $O(\log n)$。

12. 给定一个长度为 $n$ 的有序数组 nums,其中可能包含重复元素。下面的函数返回数组中某个元素 target 的左边界,若数组中不包含该元素,则返回 $-1$。例如在数组 nums = [5,7,7,8,8,10] 中查找 target=8,函数返回 $8$ 在数组中的左边界的索引为 $3$。则横线上应填写的代码为( )。

int getLeftBoundary(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1;
    while (left < right) {
        int middle = left + ((right - left) / 2);
        if (target <= nums[middle])
            ___ // 在此处填入代码
        else
            left = middle+1;
    }
    return nums[left]==target?left:-1;
}

{{ select(12) }}

• right = middle - 1;
• right = middle;
• right = middle + 1;

13. 假设有多个孩子,数组 g 保存所有孩子的胃口值。有多块饼干,数组 s 保存所有饼干的尺寸。小杨给孩子们发饼干,每个孩子最多只能给一块饼干。饼干的尺寸大于等于孩子的胃口时,孩子才能得到满足。小杨的目标是尽可能满足越多数量的孩子,因此打算采用贪心算法来找出能满足的孩子的数目,则横线上应填写的代码为( )。

int cooki4children(vector<int>& g, vector<int>& s) {
    sort(g.begin(), g.end());
    sort(s.begin(), s.end());
    int index = s.size() - 1; // 饼干数组下标
    int result = 0;
    for (int i = g.size() - 1; i >= 0; i--) {
        if (index >= 0 && s[index] >= g[i]) {
            ___ // 在此处填入代码
        }
    }
    return result;
}

{{ select(13) }}

• 选项如下：

  result++;
  index--;
  

• 选项如下：

  result--;
  index--;
  

• 选项如下：

  result--;
  index++;
  

• 选项如下：

  result++;
  index++;
  

14. 关于分治算法,以下说法中不正确的是( )。 {{ select(14) }}

• 分治算法将问题分成子问题,然后分别解决子问题,最后合并结果。
• 归并排序采用了分治思想。
• 快速排序采用了分治思想。
• 冒泡排序采用了分治思想。

15. 小杨编写了一个如下的高精度减法函数:

vector<int> highPrecisionSubtract(vector<int> a, vector<int> b) {
    vector<int> result;
    int borrow = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        int digitA = a[i];
        int digitB = i < b.size() ? b[i] : 0;
        int diff = digitA - digitB - borrow;
        if (diff < 0) {
            diff += 10;
            borrow = 1;
        }
        else {
            borrow = 0;
        }
        result.push_back(diff);
    }
    while (result.size() > 1 && result.back() == 0) {
        result.pop_back();
    }
    return result;
}

下面说法,正确的是( )。 {{ select(15) }}

• 如果数组 a 表示的整数小于 b 表示的整数,代码会正确返回二者的差为负数。
• 代码假设输入数字是以倒序存储的,例如 $500$ 存储为 {0, 0, 5}。
• 代码的时间复杂度为 $O(\texttt{a.size()} + \texttt{b.size()})$
• 当减法结果为 $0$ 时,结果数组仍然会存储很多个元素 $0$。

判断题(每题 2 分,共 20 分)

16. 单链表只支持在表头进行插入和删除操作。 {{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 线性筛相对于埃拉托斯特尼筛法,每个合数只会被它的最小质因数筛去一次,因此效率更高。 {{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 任何一个大于 $1$ 的自然数都可以分解成若干个不同的质数的乘积,且分解方式是唯一的。 {{ select(18) }}

• 正确
• 错误

19. 贪心算法通过每一步选择当前最优解,从而一定能获得全局最优解。 {{ select(19) }}

• 正确
• 错误

20. 递归算法必须有一个明确的结束条件,否则会导致无限递归并可能引发栈溢出。 {{ select(20) }}

• 正确
• 错误

21. 快速排序和归并排序的平均时间复杂度均为 $O(n\log n)$,且都是稳定排序。 {{ select(21) }}

• 正确
• 错误

22. 快速排序的时间复杂度总比插入排序的时间复杂度低。 {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. 二分查找仅适用于数组而不适合链表,因为二分查找需要跳跃式访问元素,链表中执行跳跃式访问的效率低。 {{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24. 对有序数组 { $5$, $13$, $19$, $21$, $37$, $56$, $64$, $75$, $88$, $92$, $100$ } 进行二分查找,成功查找元素 $19$ 的比较次数是 $2$。 {{ select(24) }}

• 正确
• 错误

25. 递归函数每次调用自身时,系统都会为新开启的函数分配内存,以存储局部变量、调用地址和其他信息等,导致递归通常比迭代更加耗费内存空间。 {{ select(25) }}

• 正确
• 错误